Transformation complexe
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La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.
Contents
• Principe
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Principe
À une grandeur g(t), fonction sinusoïdale du temps d'expression :
g ( t ) = G ^ ^ ⋅ ⋅ cos ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle g(t)={\widehat {G}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )\,} ,
on fait correspondre un nombre complexe : G _ _ {\displaystyle {\underline {G}}\,} de module G et d'argument φ. En notant j l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit
G _ _ = G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle {\underline {G}}=\ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,} ,
Remarque[réf. nécessaire] : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :
G _ _ = G ( t ) ⋅ ⋅ e j φ φ {\displaystyle {\underline {G}}=\ G(t)\cdot {\rm {e}}^{j\varphi }\,} , avec : G ( t ) = G ⋅ ⋅ e j ω ω t {\displaystyle \ G(t)=\ G\cdot {\rm {e}}^{j\omega t}\,} ,
Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations.
En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :
G = G ^ ^ 2 {\displaystyle G={\frac {\hat {G}}{\sqrt {2}}}\,}
Opérations élémentaires
• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
• Dérivation
On dérive le nombre complexe image : G _ _ = G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle {\underline {G}}=\ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,} ,
on obtient : ω ω ⋅ ⋅ G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ + π π 2 ) {\displaystyle \omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi +{\frac {\pi }{2}}\right)}\,} ou encore j ω ω ⋅ ⋅ G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle j\omega \cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}
• Intégration
On intègre le nombre complexe image et on obtient : 1 ω ω ⋅ ⋅ G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ − − π π 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j\left(\omega t+\varphi -{\frac {\pi }{2}}\right)}\,} , ou encore 1 j ω ω ⋅ ⋅ G ⋅ ⋅ e j ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}\cdot \ G\cdot {\rm {e}}^{j(\omega t+\varphi )}\,}
Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)
Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type :
g ( t ) = G ^ ^ ⋅ ⋅ cos ( ω ω t + φ φ ) {\displaystyle g(t)={\widehat {G}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )\,} ,
On note g _ _ {\displaystyle {\underline {g}}} un nombre complexe associé à g(t) égal à :
g _ _ = G ⋅ ⋅ e j φ φ ⋅ ⋅ e j ω ω t {\displaystyle {\underline {g}}=\ G\cdot e^{j\varphi }\cdot {\rm {e}}^{j\omega t}}
• | g _ _ | {\displaystyle |{\underline {g}}|} est égal à la valeur efficace de g,
• arg ( g _ _ ) {\displaystyle \operatorname {arg} ({\underline {g}})} est égale à la phase totale de g (incluant le ω t).
Le terme G ⋅ ⋅ e j φ φ {\displaystyle \ G\cdot {\rm {e}}^{j\varphi }} est appelée amplitude complexecite-ref-1[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme ej ω t est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que g ( t ) = ℜ ℜ ( g _ _ ) {\displaystyle g(t)=\Re ({\underline {g}})} . g _ _ {\displaystyle {\underline {g}}} est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de g ( t ) {\displaystyle g(t)} . Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.
Notes et références